ダイソーで色々買ってきたので試してみます。 かなりコメント頼りです。 (たまにコメントYoutube側で削除されることもあるみたいです。無視しているわけではないので許してください。)
他のアプリを使いながら聞くには、再生中にプレイヤーをピクチャ・イン・ピクチャ(PiP)にすると、小さな小窓で再生が続きます(画面はオンのまま)。
画面を完全に消して聞きたい場合、ブラウザ上での再生は YouTube の仕様で停止します。YouTube アプリで開くと、バックグラウンド再生に対応した環境(YouTube Premium など)でそのまま聞けます。
YouTubeアプリで開く